ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ, раздел математики, изучающий функции, аргументы к‑рых принадлежат бесконечномерному пространству (топологич., векторные, метрические, гильбертовы и банаховы пространства), их отображения, а также методы, с помощью к‑рых сведения об этих структурах применяются к конкретным задачам. Осн. направления Ф.а.: введение и изучение бесконечномерных пространств (с бесконечным множеством линейно независимых векторов); иссл. функционалов (простейших функций, у к‑рых область значений является одномерным пространством) и операторов (функций со значениями в бесконечномерном пространстве). Осн. принципы Ф.а.: равномерная ограниченность, открытые отображения, непрерывные продолжения функционала (теорема Хана—Банаха). Применяется в теории функций, теории дифференц. и интегральных ур‑ний, вероятностей теории, квантовой механике, математической экономике и др.
В Башкортостане с 70‑х гг. 20 в. в Ин-те математике исследуются топологич. св‑ва пространств аналитических функций, в т.ч. изоморфное описание сопряжённых пространств, полнота и базисность систем функций, действие операторов свёртки в этих пространствах и др. (А.М.Гайсин, В.И.Луценко, И.Х.Мусин, В.В.Напалков, С.В.Попёнов, Б.Н.Хабибуллин, Р.С.Юлмухаметов); изучены банаховы пространства функций веществ. переменных, установлены точные теоремы следа и продолжения, найден оператор наилучшего продолжения (М.Д.Рамазанов). С 80‑х гг. в БГУ ведутся иссл. спектральных св‑в дифференц. операторов (Х.Х.Муртазин, Я.Т.Султанаев); в УГАТУ — по теории интерполяции линейных операторов, получено орбитальное описание пространств Кальдерона—Лозановского (В.В.Водопьянов), в терминах Ф.а. сформулированы задачи оптимизации портфеля сложных финансовых инвестиций (Е.М.Бронштейн).
Лит.: Бронштейн Е.М. Основы функционального анализа. Уфа, 2004.
В.В.Водопьянов
