УРАВНЕНИЕ РАЗНОСТНОЕ
УРАВНЕНИЕ РАЗНОСТНОЕ, уравнение, содержащее конечные разности функции целочисленного аргумента. Различают У.р. линейные и нелинейные, однородные и неоднородные. Используются при описании биол., мех., экон. и др. процессов и систем; многомерные У.р. (разностные схемы) возникают при разностной аппроксимации дифференц. ур-ний с частными производными, систем интегральных ур-ний; методы решения У.р. являются средством иссл. устойчивости разностных алгоритмов к погрешности вычислений.
В Башкортостане иссл. в области У.р. ведутся с 60-х гг. 20 в. в БГУ, Ин-те математики, СГПА, УГАТУ и связаны с разработкой численных методов решения прямых и обратных задач для дифференц. и интегральных ур-ний, задач оптим. управления на основе разностных и дифференциально-разностных аппроксимаций.
Изучены устойчивость параболич. У.р., методов Рунге—Кутта, Рунге—Кутта—Фельберга решения задач Коши для обыкновенных дифференц. ур-ний 2-го порядка (А.Ф.Клементьев), адаптирующие У.р. для численного решения задач фазового перехода (Клементьев, Г.Т.Булгакова, Г.А.Халиков), “шахматные” разностные схемы решения задач механики сплошных сред (Клементьев, Р.Г.Смольникова). Доказана сходимость и получены оценки точности дифференциально-разностного метода для многомерных эллиптич. ур-ний 2-го (В.Т.Иванов, Ф.В.Лубышев) и 4-го порядков, нестац. задач для многомерных ур-ний 2-го и 4-го порядков, ур-ний типа Соболева (Лубышев).
Созданы разностные схемы для систем дифференц. ур-ний электротепломассопереноса с обобщёнными решениями (Иванов, Лубышев, С.А.Щербинин), ур-ния нестац. фильтрации, задачи поверхностного взаимодействия в системе полупроводник—жидкий кристалл, двумерной уединённой волны Россби (Е.И.Тихомирова); исследованы сходимость метода сеток для нелинейных параболич. ур-ний с вырождением, устойчивость разностного решения вырождающихся параболич. ур-ний (Ж.Н.Кудряшова), сходимость и точность разностных аппроксимаций задач оптим. управления для дифференц. ур-ний (Лубышев, А.Р.Манапова, М.Э.Файрузов), обратных задач матем. физики (Иванов, С.А.Кондаратцев, Лубышев, М.С.Масютина, Г.П.Смирнов).
Разработаны численные методы поиска оптим. управления в задачах с ограничениями на фазовые переменные и управления (О.Г.Коробчинская, Н.Д.Морозкин). Метод конечных разностей применён при иссл. притока жидкости к скважинам в неоднородных пластах (Р.Р.Газизов, Иванов), решении задач электроразведки в средах с разл. геометрией (Г.Я.Галеева, Иванов, В.Н.Кризский и др.), расчёте эл. полей в многоэлектродных эл.-хим. системах с неоднородной средой, в т.ч. для защиты сооружений от коррозии (Болотнов, Иванов, Кризский, М.М.Махмутов и др.).
Ф.В.Лубышев
