РЯД
РЯД, бесконечная сумма. Подразделяют Р. числовые и функциональные (в т.ч. степенные). Применяют при приближённом вычислении функций, интегралов, решении алгебраич., дифференц., интегральных ур-ний и др.
В Башкортостане с нач. 70-х гг. 20 в. в Ин-те математики, БГУ, УГАТУ и др. ведутся иссл. Р. экспонент (Р. Дирихле). Создана теория представления аналитических функций Р. экспонент; c использованием Р. экспонент и их обобщений разработаны методы изучения задач комплексного анализа; показано, что любую функцию, аналитическую в выпуклой области, можно представить Р. экспонент; выделен класс целых функций, индикаторы роста к‑рых вычисляются через модули коэффициентов их Р. экспонент; доказаны теоремы о представлении аналитич. в выпуклых областях функций Р. из функций экспоненциального типа (А.Ф.Леонтьев). В локально-выпуклых пространствах метод представления аналитич. функций посредством Р. экспонент распространён на Р. по собств. элементам оператора сдвига; установлен метод представления функций комплексных переменных посредством функциональных Р. довольно общей природы (В.П.Громов). Исследованы задачи о представимости целых функций пространств (описываемых порядком и типом) Р. Лагранжа и аналитич. функций Р. по решениям дифференц. ур-ний (Ю.Н.Фролов).
Результаты изучения слабодостаточных множеств в одном пространстве целых функций экспоненциального типа использованы для представления аналитич. в бесконечных выпуклых областях функций в виде Р. экспонент; иссл. пространств аналитич. функций заданного роста вблизи границы применено при разложении функций в Р. Дирихле (В.В.Напалков). Методами Р. Дирихле получены решения широкого класса интегральных ур-ний (И.Ф.Красичков-Терновский, А.С.Кривошеев, Леонтьев, Напалков и др.). Решены задачи представления аналитич. функций многих переменных Р. экспонент и их обобщениями (А.Б.Секерин). Получены результаты по асимптотике функций, представленных Р. экспонент, полностью решена задача Пойа для Р. Дирихле с лакунами Фейера (А.М.Гайсин). Доказаны утверждения, обобщающие классич. теоремы Лагерра о кратности и кол-ве нулей функций, представимых степенными Р. спец. вида (С.Г.Мерзляков).
В 2002 за цикл работ “Полнота систем экспонент и асимптотические свойства рядов Дирихле" Гайсину и Мерзлякову присуждена пр. им. А.Ф.Леонтьева. Исследована возможность построения безусловных базисов из экспонент в пространствах Бергмана и соотв. разложения функций из этих пространств в сходящиеся Р. по семейству экспонент базиса (К.П.Исаев, Р.С.Юлмухаметов). Изучена задача о представлении элементов весового пространства бесконечно дифференцируемых на веществ. прямой функций Р. экспонент (И.Х.Мусин). Методы асимптотич. Р. (асимптотич. разложений функций) использованы при решении задач дифференц. ур-ний и ур-ний матем. физики (А.М.Ильин, Л.А.Калякин, В.Ю.Новокшенов и др.).
Лит.: Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М., 1976; его же. Обобщения рядов экспонент. М., 1981.
В.В.Напалков, В.А.Таров
