КОРРЕКТНАЯ ЗАДАЧА
КОРРЕКТНАЯ ЗАДАЧА, матем. задача отыскания решения абстрактного операторного ур‑ния, для к‑рой выполнены условия: 1) задача разрешима на заданном метрич. пространстве решений U; 2) решение её единственно на этом пространстве; 3) решение устойчиво на этом пространстве по отношению к допустимым возмущениям исходных данных из метрич. пространства исходных данных F. При нарушении любого из перечисл. условий задача называется некорректной (некорректно поставленной) на паре пространств (U, F). Корректность (некорректность) постановки задачи является одной из осн. характеристик матем. моделей, используемых при изучении явлений физики, химии, теории управления и др.
В Башкортостане иссл. проблем корректности разл. классов задач ведутся с 50‑х гг. 20 в. в БГУ, Ин‑те математики, УГАТУ, УГНТУ, СГПА и др. Исследованы вопросы существования и единственности решения задач Стефана (Н.А.Авдонин, Л.И.Рубинштейн), систем нелинейных интегральных ур-ний (Ш.М.Назаров), нек‑рых систем ур‑ний тепломассопереноса (Г.П.Смирнов), вопросы существования и св‑ва спектра, собств. функций разл. классов дифференц. операторов (А.М.Ахтямов, З.И.Биглов, М.Г.Гимадисламов, Х.Х.Муртазин, Я.Т.Султанаев, З.Ю.Фазуллин и др.).
Исследованы краевые задачи для нек‑рых вырождающихся на границе эллиптич. ур‑ний (И.А.Соломещ), корректность матем. постановок нек‑рых граничных задач для нелинейных систем ур‑ний электротепломассопереноса, задач оптим. управления для линейных и квазилинейных ур‑ний матем. физики и их разностных аппроксимаций (Ф.В.Лубышев), матем. модели задач хим. кинетики (Р.М.Асадуллин, С.И.Спивак, С.М.Усманов), конечномерных аппроксимаций нек‑рых задач оптим. управления нагревом с фазовыми ограничениями (Н.Д.Морозкин). Исследована корректность задачи Трикоми для разл. дифференц. ур‑ний смешанного типа со спектральным параметром (К.Б.Сабитов), функционально-интегральных ур‑ний теплофиз. характеристик (Ю.С.Шаталов). Предложен фундам. метод построения класса нелинейных интегрируемых ур‑ний в частных производных и алгоритм получения их точных решений (А.Б.Шабат); развит аналитич. метод иссл. начально-краевых задач для интегрируемых ур‑ний (И.Т.Хабибуллин). Изучена разрешимость задачи Коши для нелинейных систем ур‑ний с частными производными типа ур‑ний Шрёдингера (А.В.Жибер), постановок нек‑рых краевых задач для ур‑ния диффузии, линеаризованного ур‑ния Кортвега‑де Фриза, сингулярно возмущённых задач обтекания с малыми параметрами (М.Д.Рамазанов).
Получены фундам. результаты иссл. сингулярно возмущённых задач для дифференц. ур‑ний (Р.Р.Гадыльшин, А.М.Ильин, Л.А.Калякин, В.Ю.Новокшенов, Б.И.Сулейманов и др.); разработаны методы доказательства существования и итерационные процессы построения решений нелинейных краевых и начально-краевых задач для эллиптич. и параболич. ур‑ний (И.И.Голичев). Исследована корректность первой смешанной задачи для параболич. ур‑ния в неограниченной области, установлены классы единственности теклиндовского типа и доказано существование решения в этом классе, найдены широкие классы единственности решений задачи Риккье для эллиптич. ур‑ний (Ф.Х.Мукминов). Доказано существование положит. решений нелинейных ур‑ний, описывающих динамику популяций в биологии, кинетику хим. реакций, спектральные задачи физики тв. тела (Я.Ш.Ильясов).
Ф.В.Лубышев
