ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, теория симметрий, раздел математики, предметом к‑рого является совместное рассмотрение непрерывных групп преобразований и допускающих эти группы дифференциальных уравнений. Методы Г.а.д.у. используются в математике (теория дифференц. уравнений, математическая физика, теория групп), теоретич. физике, механике и др.
В Башкортостане Г.а.д.у. развивается с 70‑х гг. 20 в. в БГУ: иссл. задач о классификации интегрируемых ур‑ний привели к возникновению нового направления в Г.а.д.у. — симметрийные методы классификации интегрируемых ур‑ний (А.Б.Шабат); в сер. 80‑х гг. начаты иссл. интегрируемости ур‑ний со связями, получены необходимые условия наличия у них последовательности симметрий, порядки к‑рых стремятся к бесконечности, что позволило классифицировать интегрируемые эволюционные ур‑нияс тремя связями (Ф.Х.Мукминов, С.И.Свинолупов, В.В.Соколов).
В УГАТУ (В.А.Байков, Р.К.Газизов, Н.Х.Ибрагимов) ведутся иссл. по развитию теории приближённых групп преобразований, представляющей собой синтез методов классич. Г.а.д.у. с методами возмущений теории. С нач. 90‑х гг. в Ин-те механики (С.В.Хабиров) на основе методов Г.а.д.у. создана классификация дифференциально-инвариантных и уточнена классификация инвариантных подмоделей; в БГПУ (И.З.Голубчик, Соколов) развивается теория интегрируемых ур‑ний, где применяются группы преобразований и алгебры Ли. В сер. 90‑х гг. в СГПИ в ходе иссл. интегрируемости гиперболич. систем ур‑ний с квадратичной нелинейностью доказано, что таким системам соответствуют Z‑градуированные алгебры Ли; определены условия, при к‑рых гиперболич. система ур‑ний имеет две связанные калибровочным преобразованием иерархии симметрий (А.А.Бормисов, Мукминов). В 2001 в Ин-те математики получен полный список ур‑ний лиувиллевского типа (А.В.Жибер, Соколов), применён симметрийный подход при иссл. граничных задач для нелинейных ур‑ний (И.Т.Хабибуллин).
Лит.: Адлер В.Э., Хабибуллин И.Т., Черданцев И.Ю. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Уфа, 1999.
А.В.Жибер
