ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, математическая задача отыскания абстрактного операторного уравнения по заданным сведениям о решении. В О.з. определяют уравнение (систему уравнений, краевые условия), в отличие от прямой задачи, которая определяет решение или некоторые сведения о решении уравнения. О.з. возникают при изучении явлений и процессов физики, химии и др.
В Башкортостане исследования по проблемам О.з. начаты в 70‑е гг. 20 в. и развиваются в БГУ и его филиалах в гг. Бирск, Нефтекамск и Стерлитамак, в УГАТУ, УГНТУ, Институте механики и др. Изучены О.з. динамической теории упругости (М.А.Ильгамов, А.Г.Хакимов), процессов полимеризации (Ю.Б.Монаков, С.И.Спивак, С.М.Усманов), теории рассеяния и теории солитонов (В.Ю.Новокшенов, В.В.Соколов, И.Т.Хабибуллин, А.Б.Шабат, Р.И.Ямилов), спектральной теории операторов (А.М.Ахтямов, Н.Ф.Валеев, Х.К.Ишкин, Х.Х.Муртазин, В.И.Рыков, Я.Т.Султанаев), химической кинетики и термодинамики (Р.М.Асадуллин, И.М.Губайдуллин, С.И.Спивак и др.), описания сложных нефтяных смесей (И.З.Мухаметзянов), марковских процессов, возникающих в теории страхования (С.И.Спивак), связанные с реальными проблемами контроля и управления процессами нефтегазодобычи (Г.Т.Булгакова). Метод О.з. использован для решения нелинейных дифференциальных уравнений (Л.А.Калякин, В.Ю.Новокшенов, Б.И.Сулейманов, И.Т.Хабибуллин, А.Б.Шабат и др.). Создана теория идентификации краевых условий (А.М.Ахтямов), получены решения задач идентификации условий закрепления струн, стержней, балок, валов и графов (А.А.Аитбаева, З.Ф.Аксенова, Г.Ф.Сафина, И.М.Утяшев), доказана корректность некоторых О.з. Штурма—Лиувилля (Я.Т.Султанаев, А.М.Ахтямов совместно с В.А.Садовничим, МГУ). Разработаны методы и алгоритмы поиска границ и параметров кусочно-однородных сред по данным геофизических измерений (В.Н.Кризский), численно-аналитический метод решения некоторых О.з. для уравнения теплопроводности, определения мощности поверхностного теплового источника по температурному режиму на некоторой поверхности (В.Т.Иванов, Ф.В.Лубышев, Г.П.Смирнов). Исследованы вариационные постановки некоторых О.з. для уравнений эллиптического и параболического типов и их сеточные аппроксимации, о величине притока жидкости к скважинам (Р.М.Батталов, Ф.В.Лубышев). Возникающие в математике и технике О.з. Ильгамова — класс задач, где определяются свойства элементов конструкций по известным их деформациям (действующие нагрузки, повреждения, условия закрепления элементов). Первоначально были разработаны Ильгамовым в области оборонной техники.
С 1999 раз в 2 года в г.Бирске проходят Всерос. научные школы-семинары “Обратные задачи химии" (Г.М.Курамшина, А.Г.Ягола, МГУ). В 2011 научно-исследовательская работа “Прямые и обратные задачи спектральной теории операторов и их приложения" (А.М.Ахтямов, Х.Х.Муртазин, В.А.Садовничий, Я.Т.Султанаев, З.Ю.Фазуллин) удостоена Гос. премии РБ в области науки и техники.
Лит.: И в а н о в В.Т., М а с ю т и н а М.С. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа. М., 1983; У с м а н о в Т.С., С п и в а к С.И., У с м а н о в С.М. Обратные задачи формирования молекулярно-массовых распределений. М., 2004; А х т я м о в А.М. Теория идентификации краевых условий и её приложения. М., 2009; Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М. Обратные задачи спектрального анализа. М., 2020.
А.М.Ахтямов, И.М.Утяшев
