ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР, оператор, определённый дифференциальным выражением и краевыми условиями. Различают Д.о. обыкновенные и с частными производными (напр., эллиптические, гиперболические, параболические); линейные, квазилинейные, нелинейные. Теория Д.о. позволяет применять классич. методы теории операторов (напр., метод сжатых отображений) в теории бифуркации решений, иссл. задач на собственные значения, теоремах существования и единственности решений краевых задач для дифференциальных уравнений.

В респ. с 50‑х гг. 20 в. развивается спектральная теория линейных обыкновенных и эллиптических Д.о. В БГУ (Х.Х.Муртазин, Я.Т.Султанаев, З.Ю.Фазуллин) проведены иссл. спектральных свойств сингулярных Д.о. (спектральные разложения, качественный и количественный характер расположения и асимптотика спектра). Впервые изучены регуляризованные следы Д.о. с частными производными на многообразиях, получены формулы следов Гельфанда—Левитана для возмущений двумерного гармонического осциллятора и оператора Лапласа—Бельтрами на двумерной сфере (Фазуллин); проведены иссл. обратных спектральных задач и их приложений в механике (А.М.Ахтямов). С 90‑х гг. в СГПА (К.Б.Сабитов) изучаются спектральные задачи для Д.о. с частными производными смешанного типа. Найдены собственные значения и построены собственные функции для Д.о. Лаврентьева—Бицадзе, Д.о. Чаплыгина, на основе к‑рых получены решения краевых задач для ур-ний смешанного типа в виде суммы биортогональных рядов. В Ин-те математики исследуются Д.о. на многообразиях, развивается теория индекса Д.о., приложения теории Д.о. в геометрии, спектральная теория Д.о. (Ю.А.Кордюков), эллиптические Д.о. и их обобщения (Р.С.Сакс).

Лит.: Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969; Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М. Обратные задачи Штурма—Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. М., 2009.

Я.Т.Султанаев

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ операторов